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高等数学课件【篇1】
高等数学是大学数学的一种,是指在基础数学的基础上,研究和探讨复杂问题的数学分支。高等数学课件的出现使得我们更加高效地学习高等数学,抓住重点和难点,了解其理论证明和实际应用。以下是关于高等数学的主题范文。
一、高等数学的基本特点及意义
高等数学是一门抽象的数学学科,是现代科学和技术不可或缺的基本工具。高等数学作为现代科学的基础,有其独特的基本特点。高等数学的基本特点主要包括:抽象性、系统性、严谨性和应用性。抽象性是指高等数学的概念和方法比较抽象,需要较强的数学思维和理论知识;系统性是指高等数学是一个完整的系统,各个概念和方法之间相互关联,构成一个庞大的数学体系;严谨性是指在高等数学中每一个结论都需要经过理论证明才能成立;应用性是指高等数学在现代科学和工程技术中有着广泛的应用,涉及到各个领域。
高等数学在现代科学和技术中的重要性不言而喻。高等数学的研究和应用,不仅能够提高科学技术的水平,还能够推动社会的进步和发展。高等数学已经成为各个领域的基础和前沿,比如:物理、化学、生物、经济、计算机等领域。因此,掌握高等数学的概念和方法、掌握高等数学的理论和应用,能够使我们更好地走向现代科学和技术的道路。
二、高等数学的应用举例
高等数学的应用范围非常广泛,涉及到各个领域的发展和进步,并为我们的生活带来了许多便利和改变。以下是几个高等数学在不同领域中的应用举例:
1、物理
高等数学在物理学中起着关键的作用,许多物理学家都是数学家出身。物理学领域中的微积分、线性代数、矩阵论等数学概念和应用,是理解和解释物理现象的基础。比如,在量子力学中,矩阵的运算是非常重要的,它描述了电子、光子、原子等微观尺度的系统。
2、计算机科学
高等数学在计算机科学中的应用也非常广泛。计算机科学领域中最基本的数学概念是离散数学,它包括图论、概率论等方面。在计算机的逻辑设计、算法分析和优化、人工智能等方面,都需要离散数学的知识。比如,图论在计算机网络和数据库管理中扮演着重要的角色。
3、金融
在金融领域中,高等数学的应用也是不可或缺的。金融学家需要理解数学概念和算法,例如蒙特卡罗模拟、风险管理和金融衍生品估值。这些数学方法使得金融工具的设计和金融风险的管理更加实用和准确。
三、高等数学课程的重点和难点
高等数学课程在许多学生眼中是一门极其难懂的学科。然而,只要我们掌握了一定的方法和技巧,高等数学也不再难以理解。以下是几个高等数学课程的重点和难点:
1、微积分
微积分是高等数学的一个主要分支,是许多其他高等数学学科的基础。微积分的内容较为丰富,需要深入理解微分和积分的概念、定理和方法。微积分的难点在于如何理解和运用微分和积分的概念、理论和性质,以及如何联想和运用到实际问题中。
2、线性代数
线性代数是高等数学中比较抽象和理论性较强的一个分支。该学科主要探讨线性方程、矩阵和向量空间等概念的理论和性质。线性代数的难点在于如何理解抽象的概念和方法,并具体地运用到实际问题中。
3、多元函数微积分
多元函数微积分是微积分的一种扩展。它涉及到多个变量的函数、偏导数、梯度、散度、旋度等概念和方法。多元函数微积分的难点在于如何理解多元函数和多元微积分的概念和方法,并具体地运用到实际问题中。
总之,高等数学作为一门抽象、系统、严谨和应用性强的学科,具有广泛的应用前景和不可替代的地位。只有掌握了高等数学的基本概念和方法,并善于运用到实际问题中,才能在未来的职业生涯和学术研究中有所作为。
高等数学课件【篇2】
高等数学课件是一种重要的教学资源,能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识,提高数学能力。在现代教育中,教育技术的发展和应用,使得教师能够使用多种形式的教学资源,包括课件等。因此,高等数学课件的编写和使用已经成为了现代高等数学教学的重要课题。
高等数学课件的编写需要考虑到学生的学习需求和教学目标。在编写课件时,应当根据课程内容、学生的知识水平、教学目标等因素进行分析和设计,以达到最好的教学效果。由于高等数学的知识层次较为复杂,因此编写高等数学课件时需要充分考虑到学生的认知模式和学习习惯,力求让学生更好地理解和掌握数学知识。
高等数学课件应具备以下几个方面的要求:
一、准确性。高等数学知识的准确性是基本要求,因为任何一个错误的公式或概念,都会对学生成长和知识的累积产生负面影响。因此在编写和使用高等数学课件时,应严格控制内容的准确性,确保学生能够掌握正确的知识和技能。
二、清晰性。高等数学是一门较为抽象的学科,对于学生来说,掌握数学知识本身就需要花费较大的认知代价。因此,在编写和使用高等数学课件时,应力求将知识的概念和原理表达得尽可能清晰和易懂,避免出现模糊或难以理解的语言和表达方式。
三、实用性。高等数学课件的编写和使用应力求贴近实际问题和应用情境,帮助学生理解知识的实际应用场景和方法,培养学生的解决实际问题的能力。
四、适用性。高等数学课件的设计应当考虑到不同年级、不同层次、不同专业学生的不同需求,尽可能做到适用性的设计,以便保持高效和灵活性。
在高等数学课件的编写和使用中,应尽可能满足学生的学习需求和教学目标,强化课程知识的建设和教学策略的完善,以提高数学教育的质量和水平。同时,高等数学课件的编写和使用应在保持教学质量和效果的同时,适应教育技术的不断创新和进步,推动教学模式和教学流程的优化和升华。
高等数学课件【篇3】
§8 4 多元复合函数的求导法则
设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz?
dt
设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z?
xy
1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有
dzzduzdv
dtudtvdt
简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有
dzzduzdv
uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有
dududt dvdvdt
dtdt代入上式得
dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt
udtvdtudtvdt从而
dzzduzdv
dtudtvdt
简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z 由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有
zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()
uvudtvdt
(zduzdv)t(zz)o(t)o()
udtvdtuvzzduzdv(zz)o(t)o()
tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得
dzzduzdv
dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20
tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为
dzzduzdvzdw
dtudtvdtwdt上述dz称为全导数
dt
2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有
zzuzv zzuzv
xuxvxyuyvy
推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则
zzuzvzw
zzuzvzw
xuxvxwxyuyvywy
讨论
(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z?z?
yx
提示 zzu zzuzdv
xuxyuyvdyz
(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z??
yxffff
提示 zu zu
xuxxyuyyf这里z与是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xxxffz偏导数 是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似
yyx的区别
3.复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有
zzuzdv
zzu
xuxyuyvdy
z
例1 设zeusin v uxy vxy 求z和
xy
解 zzuzv
xuxvx
eusin vyeucos v1
ex y[y sin(xy)cos(xy)]
zzuzv
yuyvy
eusin vxeucos v1
exy[x sin(xy)cos(xy)]
例2 设uf(x,y,z)exff
解 uz
xxzx2y2z2 而zx2siny 求u和u
yx
2xex2y2z22zex2y2z22xsiny
2x(12x2siny)ex2y2x4si2nyff
uz
yyzy
2yex2y2z22zex2y2z2x2cosy
2(yx4sinycoys)ex2y2x4si2ny
例3 设zuvsin t 而uet vcos t 求全导数dz
dt
解 dzzduzdvz
dtudtvdtt
vetu(sin t)cos t
etcos te tsin tcos t
et(cos tsin t)cos t
2ww
例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xzx
解 令uxyz vxyz 则wf(u v)
f(u,v)f(u,v)f22等
引入记号 f1 f12 同理有f2f11uuvwfufvfyzf
2
xuxvx12ff
w(f1yzf2)1yf2yz2
xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22
f11y(xz)f12yf2xy2zf22
f11f1f1uf1vfffxyf12 22u2vf21xyf22 f11zuzvzzuzvz
例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式
注
22u
(1)(u)2(u)2
(2)uxyx2y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得
uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)
其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得
uuxuyuuysincos
uu
xxx2uuyuxuucossin
uu
yyy2y x两式平方后相加 得
(u)2(u)2(u)212(u)2
xy再求二阶偏导数 得
2(u)(u)
ux2xxxxu)co)sin susins(ucosusin
(co22222uusincosusinu2sincosusin 222
2cos22同理可得 222222uuusincosucosu2sincosucos 22sin2222y两式相加 得
22222uuu11u1u
222222[()u]
2xy
全微分形式不变性
设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分
dzzduzdv
uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则
zz
dzdxdy
xyzuzv)dx(zuzv)dy
(uxvxuyvyzuuzvv
(dxdy)(dxdy)
uxyvxy
zduzdv
uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性
例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分
解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv
e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)
(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy
e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy
§8 5
隐函数的求导法则 一、一个方程的情形
隐函数存在定理1
设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有
Fdyx
dxFy
求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0
dy等式两边对x求导得 FF0
xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 Fdyx
dxFy
例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值
解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)
Fdydyxx 0
dxFyydxx0yx(x)dyyxyyy2x2d2y13; 1
dx2y2y2y3ydx2x0
2隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数
隐函数存在定理2
设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0 则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有
FF
zx zy
xFzyFz
公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0
将上式两端分别对x和y求导 得
FxFzz0 FyFzz0
yx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得
FF
zx zy
xFzyFz2z
例2.设xyz4z0 求2
x
解
设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4 222
zFx2xx
xFz2z42z
z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x
x2(2z)2(2z)2(2z)
3二、方程组的情形
在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx
v
x2y2x2y2y 事实上
xuyv0 vxuyuxxu1u22
yyxyyvx222x2
yxyxy
如何根据原方程组求u v的偏导数?
隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列
F(F,G)u式:
J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有
FxFvFuFxGGGG(F,G)(F,G)
u1xv
v1ux
xJ(x,v)xJ(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv(F,G)(F,G)
u1
v1
yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy
隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则
FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定
uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyuv 偏导数 由方程组确定
uvyyGyGuGv0.yyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和
yxxy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组
xxuxuyv0xx uvyvx0xxyuxvxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22
xxyxxy
两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组
yyxuvyv0yy uvuyx0yyxvyuxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22
yxyyxy
另解 将两个方程的两边微分得
udxxduvdyydv0xduydvvdyudx
即
udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvxvyudxdy
x2y2x2y dvyuxvxuyvdxdy
x2y2x2y2xuyvxvyu于是
u22 u22
xyxyxyyuxvxuyv
v22 v22 xxyyxy
例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数
又
(x,y)0 (u,v)xx(u,v)
(1)证明方程组
yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)
(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数
解(1)将方程组改写成下面的形式
F(x,y,u,v)xx(u,v)0
G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设
J(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)由隐函数存在定理3 即得所要证的结论
(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得
xx[u(x,y),v(x,y)]
yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得
1xuxv
uxvx
yy0uvuxvx由于J0 故可解得
yy
u1 v1
JuxJvx
同理 可得
u1xv1x
yJvyJu
§8 6
多元函数微分学的几何应用
一
空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为
x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导
在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为
xx0yy0zz0 xyz当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑 xx0yy0zz0
xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为
xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)
曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量
T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量
法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程
解
因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以
T (1 2 3)
于是 切线方程为
x1y1z
123法平面方程为
(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6
讨论
1 若曲线的方程为
y(x) z(x)
问其切线和法平面方程是什么形式
提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))
2 若曲线的方程为
F(x y z)0 G(x y z)0
问其切线和法平面方程又是什么形式
提示 两方程确定了两个隐函数
y(x) z(x) 曲线的参数方程为
xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydzdxdxGxGyGz0dxdxdydz,) dxdx
例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程
dydz02x2y2zdxdx
解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得dy1dz0dxdx切向量为T(1, 解方程组得dyzxdzxy dxyzdxyzdy0 dz1 dxdx从而T (1 0 1)
所求切线方程为
x1y2z1
101法平面方程为
(x1)0(y2)(z1)0 即xz0
在点(1 2 1)处
二 曲面的切平面与法线
设曲面的方程为
F(x y z)0
M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点
并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为
x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为
T ((t0) (t0) (t0))
考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数
Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0
引入向量
n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))
易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是
Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0
曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为
xx0yy0zz0
Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)
曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量
n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量
例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式
解
F(x y z) x2y2z214
Fx2x Fy2y Fz2z
Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6
法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)
所求切平面方程为
2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140
y2z3法线方程为x1
3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式
提示
此时F(x y z)f(x y)z
n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)
例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程
解
f(x y)x2y21
n(fx fy 1)(2x 2y 1)
n|(2 1 4)(4 2 1)
所以在点(2 1 4)处的切平面方程为
4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60
x2y1z4法线方程为
421§8 7
方向导数与梯度
一、方向导数
现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题
设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为
xx0t cos yy0t cos (t0)
设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值
f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)
t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在
则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即
fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)
t
从方向导数的定义可知 方向导数
fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率
方向导数的计算
定理
如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有
fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
其中cos cos 是方向l 的方向余弦
简要证明 设xt cos yt cos 则
f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)
所以
f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)
limfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin
tt0这就证明了方向导数的存在 且其值为
fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)
xt cos yt cos (x)2(y)2t
讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向
沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示
ff
沿x轴正向时 cos cos0
lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0
lx2y
例1 求函数zxe在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数
解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为
el(1, 1)
22 因为函数可微分 且zx所以所求方向导数为
(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2
z112(1)2
l(1,0)22
2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos cos cos )的方向导数为
fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)
t
如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos cos cos 的方向导数为
fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos
例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60
解 与l同向的单位向量为
el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)
222因为函数可微分且
fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3
fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3
fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以
fl3132211(532)
2222(1,1,2)
二 梯度
设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量
fx(x0 y0)ify(x0 y0)j
这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即
grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j
梯度与方向导数
如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos cos )是与方向l同方向的单位向量 则
fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos
grad f(x0 y0)el
| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)
这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数
fl取得
(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值
f
讨论 的最大值
l
结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值
我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为
zf(x,y)
zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为
f(x y)c
对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线
若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为
n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))
22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方f向的方向导数就等于|grad f(x0 y0)| 于是
nf
grafd(x0,y0)n
n
这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数
梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量
fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k
这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即
grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k
结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值
如果引进曲面
f(x y z)c
为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数
1
x2y2 解 这里f(x,y)212
xy 例3 求grad
因为 ff2y22x22 222
xy(xy)(xy)2y所以
gra d21222x22i222j
xy(xy)(xy)
例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)
解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)
于是
grad f(1 1 2)(2 2 4)
数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而
F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k
其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数
利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场
例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0
rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离 rmx
解 (m)mxrr2xr3my同理
(m)3 (m)mz 3yrrzrrxiyjzk) 从而
gramdm(rrr2rryzx记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmme
rrrrr2r
上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场
rgradm称为引力场 而函数m称为引力势
r
r§88
多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值及最大值、最小值
定义
设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有
f(x y)f(x0 y0))
则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)
极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点
例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值
当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值
例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值
当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值
例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值
因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点
以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数
设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有
f(P)f(P 0))
则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)
定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有
fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0
证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式
f(x y)特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式f(x y0)这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有fx(x0 y0)0类似地可证fy(x0 y0)0从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值定理2(充分条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下(1)ACB2>0时具有极值 且当A0时有极小值(2)ACB20 则函数具有极值 且当fxx0时有极小值极值的求法第一步 解方程组fx(x y)0 fy(x y)0求得一切实数解 即可得一切驻点第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值fx(x,y)3x26x90 解 解方程组2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)再求出二阶偏导数fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5在点(1 2)处 ACB212(6)0 又A0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 2从这个例子还可看出在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大?解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积A1(242x2xcos242x)xsin2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )令Ax24sin4xsin2xsin cos0A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0由于sin 0 x0 上述方程组可化为122xxcos02224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0二、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 解得za2xy 于是得2(xy)2Vxy(a2xy)2(xy)只需求V的无条件极值问题在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有(x0 y0)0假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数zf [x (x)]于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有dy0dzxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dxdxxx0即fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立y(x0,y0)fy(x0,y0)设 上述必要条件变为y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x0,y0)0拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数F(x y)f(x y)(x y)其中为某一常数然后解方程组Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件2(xyyzxz)a2下求函数Vxyz的最大值构成辅助函数F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)解方程组Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0z22xy2yz2xza得xyz6a6这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3
高等数学课件【篇4】
高等数学课件是现代教学中常用的教材工具之一。它不仅便于学生了解教材内容,更可以帮助教师进行教学,提高授课效率。在学习过程中,数学课件对学生的帮助也非常大。因此,我们需要充分利用高等数学课件来实现最佳学习效果。
一、高等代数
高等代数是不少学生在学习过程中感觉比较难理解和掌握的一门学科,因此,教师需要使用高效的教学方法。高等数学课件的使用可以为教师提供更有效的教学手段。在示意图、动画和绘图等方面都有不小的好处,能够更直观地展示复杂的数学公式和变量。
二、微积分
微积分是数学中的一个核心分支学科,学生在学习中需要掌握各种极限和导数等基础理论,并且需要逐步理解它们的本质和应用。高等数学课件可以极大地改善这一情况。微积分的基础概念和重要性可通过示意图、统计分析等方式进行演示和解释。这种通俗易懂的教学方法,对于学生在理解微积分中的基本概念和应用方面,会起到很大的作用。
三、线性代数
线性代数是近年来广受欢迎的学科之一,因为它不仅在软件、工程和物理学等领域有广泛应用,而且在其他领域中也十分重要。通过使用高等数学课件,教师可以按照学生的不同水平和需求,进行个性化的教学。线性代数中涉及到的大量数学公式和图形,图片和示意图等方面的表现形式,都可以得到更全面和精确地呈现,有助于激发学生的学习兴趣和思维能力。
总之,高等数学课件极大地促进了课堂教学的质量和效果,能够更好地帮助学生掌握知识,以及提高学生在数学方面的能力和兴趣。当然,它也成为教师教学中不可或缺的工具。随着科技的进步和教育技术的创新,高等数学课件的应用和发展有着更为广阔的发展前景。通过合理利用高等数学课件,我们可以进一步推进现代教育,培养更多的数学人才,助力于国家的发展和繁荣。
高等数学课件【篇5】
-----[xn1 , xn],AA1A2An,xixixi1(i1 , 2 , , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i,Aif(i)xi,Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 , , xn}.Alimf(i)xi.0i
1-----高等数学教案-----
n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数,路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:,…,[t0 , t1] [tn1 , tn],[t1 , t2],ss1s2sn,tititi1(i1 , 2 , , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i,siv(i)ti,-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 , , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:,[x1 , x2],…,[x0 , x1]
[xn1 , xn],-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 , , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i,f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 , , xn}.如果
limf(i)xi
0i1n存在,且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上
-----高等数学教案-----
则称此极限为f(x)i点的取法,在[a , b]上的定积分,记为
f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意:定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即
b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积,则f(x , y)在D上
-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续,则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义:
①如果f(x)在[a , b]上连续,且f(x)0,则
b af(x)dxs
(S是曲边梯
-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续,且f(x)0,则 b af(x)dxs
(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续,且f(x)的值有正有负,则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:
-----高等数学教案-----
①当ab时, af(x)dx0.ab
②当时,ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质:
①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1,则
b b a1dx adxba.b b b b a a a
-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0,则
b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x),则
b b af(x)dx ag(x)dx, af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M,则
bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)
-----高等数学教案-----在[a , b]上连续,则在[a , b]上至少存在一点,使得
b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续,所以存在最大值M和最小值m,使得
mf(x)M,bm(ba) af(x)dxM(ba),f(x)dx amM,ba
-----高等数学教案-----
b故在[a , b]上至少存在一点,使得
b af(x)dxf()ba即
b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数,有 12 0[f(x)]dx0,1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0
-----高等数学教案-----,所以
124 0f(x)dx4 0f(x)dx0,即
0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续,且f(x)0,证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式
1.积分上限的函数(变上限
-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续,称
x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续,x则(x) af(t)dt可导,且
xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----
sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12
xlimx1
2-----高等数学教案-----
3. (x)f(t)dt
f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd
例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例
15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22
-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续,且单调增加,证明:
x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时,f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x
f(x)f()(xa)
-----高等数学教案-----
(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加,而ax,所以
f(x)f()F(x)0,(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则
b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----
为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数,所以(x)F(x)C.由于
(a)F(a)C,a(a) af(t)dt0,得
CF(a),(x)F(x)F(a),(b)F(b)F(a),b即
(b) af(x)dx
F(b)F(a)
F(x).ba
-----高等数学教案-----证: 因
1
1例7. 2dxlnx2
xln1ln2 ln2.1
例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx
221xx(x)0(x)22
1.例9.设
x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ,-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----
:
2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2
例10.求
x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x
tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法
-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:
b af(x)dx x(t)f[(t)](其中f(x)连续,(t)有连续的导数,a(),b(),.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x 1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1
3-----高等数学教案-----例 例
223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112
12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint cost 24
-----高等数学教案-----
sin2tcostdt
2 例
2 cottdt
4 2(csc2 t1)dt
4(cottt)2
414. 5 02sinxcosxdx
5 02cosxdcosx
(166cosx)20
16.-----高等数学教案-----
4.例5. 0x(2x)dx
12421 0(2x)d(2x)2
25111
[(2x)]0
2531
.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数,则
a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12
4-----高等数学教案----- af(x)dx xt af(t)( 0 0
af(t)dt 0f(t)dt 0f(x)dx.a a 0所
以
a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx
2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且
a为奇函数,则
af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2
-----高等数学教案-----
32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数,所以
xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数,1x
-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数,所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122
312[(arctanx)]0
332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续,-----高等数学教案-----.3证明: 0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat af(at)(dt)a:
af(at)dt 0f(at)dt 0f(ax)dx.a 0 a
例9.若f(x)在[0 , 1]上连续,证明: f(sinx)dx
-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx
xt 2 2 0f(cost)(d 2 0
f(cost)dt
2 0f(cosx)dx.2 0
例10.若f(x)在[0 , 1]上连续,证明: 0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02
-----高等数学教案-----证: 0xf(sinx)dx
0 xt (t)f(sint)
0(t)f(sint)dt 0f(sint)dt 0tf(sint)dt
0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx. 解 0 得
.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数,xf(sinx)dx
-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe,求f(x)的表达式.xt证: 0ef(xt)dt xt 0x txu xe 0xuf(u)(du)
eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe,得
xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数,得
x ef(x)1,x x 0ux
-----高等数学教案-----即
f(x)e.4.定积分的分部积分法:
x
auvdx(uv) auvdx.bba b
例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx
55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx
x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数,证明:
-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证: a 0 aTf(x)dx
T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx
af(x)dx
xuT 0f(uT)du 0f(u)du 0f(x)dx af(x)dx.0 a a所以
a aT 0f(x)dx
T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx
-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续,证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)
bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x),则
b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h
-----高等数学教案-----
baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续,存在,f(x)dxta,如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛,且
t
af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.
-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续,tb,如果limtf(x)dx存在,tb则称反常义积分f(x)dx收敛,且
b
f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续,如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛,则称反常积分 f(x)dx收敛,且
b
-----高等数学教案----- f(x)dx f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:
F()limF(x),xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x),则当F()存在时, af(x)dxF()F(a)
[F(x)].a
-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x),则当F()存在时,bf(x)dxF(b)F()
[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x),则当F()与F()都存在时,f(x)dxF()F()
[F(x)].例1.判断反常积分
x 0xedx
2-----高等数学教案-----是否收敛,若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11
xlim(e) 221 .2
例2.判断反常积分
1 cosxdx
22的敛散性.解: 原式(sinx)
1sin(1)limsinx.xsinx不存在,由于xlim所以反
-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1
-----高等数学教案-----
1 1的敛散性 , , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx,当1时发散.例4.判断反常积分
1 1x2dx.解: 1 1x2dx
-----高等数学教案-----
1所以反常积分时收敛,当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0
22. 1
例5.判断反常积分
1dx
2xx 的敛散性.1dx解: 1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1
-----高等数学教案-----
x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界,那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续,点a为f(x)的瑕点,ta.如果limtf(x)dx存在,则称反常积ta
-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛,且 b
af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续,点b为f(x)的瑕点,tb.如果
blimaf(x)dx存在,则称反常积tbt分 af(x)dx收敛,且 b
af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续,点c为f(x)的 b
-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分
b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛,则
b称反常积分 af(x)dx收敛,且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数,a为f(x)的瑕点,则
b af(x)dxF(b)limF(x)
xa[F(x)].ba
-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数,b为f(x)的瑕点,则
b af(x)dxlimF(x)F(a)
xb[F(x)].ba
例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x
x 0101.-----高等数学教案-----
1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解: 11 0xdx
(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1
0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)
-----高等数学教案-----
1 1 , 1 , 11 , 1 , 1 11所以反常积分 0dx,当1x时收敛,当1时发散.11
例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解: 12dx x 01 11 12dx 02dx
xx 1
-----高等数学教案-----
高等数学课件【篇6】
高等数学教案
定积分的应用
教学目的 第六章
定积分的应用
1、理解元素法的基本思想;
2、掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量(变力做功、引力、压力和函数的平均值等)。教学重点:
1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点:
1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6 1 定积分的元素法
回忆曲边梯形的面积
设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分
Aaf(x)dx
b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数
A(x)af(t)dt
x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素
以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分
Aaf(x)dx
b
一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得
Uaf(x)dx
b
用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)
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高等数学教案
定积分的应用
§6 2 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为
Sa[f上(x)f下(x)]dx
类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为
Sc[右(y)左(y)]dy
例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积
解(1)画图
(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2
(4)计算积分 db1
S(xx)dx[2x21x3]10033321
3例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积
解(1)画图
(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4
2(4)计算积分418
S2(y41y2)dy[1y24y1y3]426222y 例3 求椭圆x221所围成的图形的面积
ab 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx
所以 2S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t yb sin t
于是
S40ydx4bsintd(acost)
2a0三峡大学高等数学课程建设组
高等数学教案
定积分的应用
4absintdt2ab02(1cos2t)dt2abab
2202
2.极坐标情形
曲边扇形及曲边扇形的面积元素
由曲线()及射线 围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为 dS1[()]2d 2曲边扇形的面积为
S1[()]2d 2
例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积
224a23
解: S01(a)2d1a2[13]02332
例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积
解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d
22232
a2[32sin1sin2]0a
242
二、体 积
1.旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴
常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体
旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体
设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx
于是体积元素为
dV [f(x)]2dx
旋转体的体积为
Va[f(x)]2dx
例
1连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积
解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx
h
所求圆锥体的体积为
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b高等数学教案
定积分的应用
22hrr1hr2
V0(x)dx2[1x3]0h3h32y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积
ab
解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 h
yba2x2
a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为dV y 2dx
于是所求旋转椭球体的体积为
22a2 Vb2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab
a33aa
例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积
解
所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为
Vx0y2dx0a2(1cost)2a(1cost)dt
a30(13cost3cos2tcos3t)dt
5 2a 3
所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则
22(y)dy0x1(y)dy
Vy0x22a2a22a2
2a2(tsint)2asintdt0a2(tsint)2asintdt
a30(tsint)2sintdt6 3a 3
2.平行截面面积为已知的立体的体积
设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx 立体的体积为
VaA(x)dx
例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积
解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为
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b2高等数学教案
定积分的应用
A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为
2RR2R3tan
VR1(R2x2)tandx1tan[R2x1x3]R223
3例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积
解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(RA(x)hyhR2x2于是所求正劈锥体的体积为VRhR2x2dx2R2h2co2sd1R2h02R三、平面曲线的弧长设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2 Mi1 Mi Mn1 MnB 并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为曲线弧AB的弧长 并称此曲线i1n弧AB是可求长的定理光滑曲线弧是可求长的1.直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为(dx)2(dy)21y2dx从而得弧长元素(即弧微分)ds1y2dx以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为sa1y2dx三峡大学高等数学课程建设组b高等数学教案定积分的应用在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度3解 yx2 从而弧长元素 13ds1y2dx1xdx因此 所求弧长为sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]33333例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度c解 yshx 从而弧长元素为cds1sh2xdxchxdxcc因此 所求弧长为bbbsbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc2.参数方程情形设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数dy(t)因为 dx(t)d t 所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt(t)所求弧长为s2(t)2(t)dt例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0 2)的长度解 弧长元素为dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind2所求弧长为2s02asind2a[2cos]08a222三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用3.极坐标情形设曲线弧由极坐标方程()( )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得x()cosy()sin( ) 于是得弧长元素为dsx2()y2()d2()2()d从而所求弧长为s2()2()d例4求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长解弧长元素为dsa22a2da12d于是所求弧长为2s0a12da[2142ln(2142)]作业:P284:2(2)(4),3,4,5(1),10,12,15(2),18,22,23,29,30三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用§6 3 功水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为Fkq(k是常数)r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为 qdrr2qdrr2bkq2Wa11drkq[1]bakq()rabr例2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k 即pVk 或pkV在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为FpSkSkxSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx x即功元素为dWkdxx于是所求的功为bbWakdxk[lnx]baklnxa例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功?解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用dW882xdx此即功元素 于是所求的功为225(kj)xW088.2xdx88.2[]5088.2225二、水压力从物理学知道 在水深为h处的压强为ph 这里 是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为PpA如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为 计算桶的一个端面上所受的压力解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx 得压力元素为dP2xR2x2dx所求压力为P02 xRxdx(R03R2rR3[2(R2x2)2]033R22R2122x)d(R2x2)三、引力从物理学知道 质量分别为m1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为FGm1m2r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量为dy 与M相距ra2y2 于2222是在水平方向上 引力元素为dFxGmdyamdyaGa2y2a2y2(a2y2)3/2三峡大学高等数学课程建设组高等数学教案定积分的应用引力在水平方向的分量为Fx2lG2l2Gmlamdy1223/222a(ay)4al作业:P292:3(2),6三峡大学高等数学课程建设组
高等数学课件【篇7】
高等数学课件
高等数学在大学阶段是一门重要的基础课程,也是学生进入理工科专业的必备课程。作为一门涉及到多种数学知识体系的学科,它的难度与广度都远超过中学数学。因此,在课程学习期间,教学工具的运用显得格外重要。高等数学课件是一种应用广泛、形式多样、功能强大的教学工具,为教师与学生提供了更加广阔的教学空间。
高等数学课件的优点
一、形式多样:
高等数学的知识内容对于难度和抽象程度都较大,采用不同的教学模式能够加深学生的理解和记忆。高等数学课件具有多样的形式,可以通过文字、图片、视频等多元素的形式展示数学知识,使学生更加直观的理解相关内容。
二、互动性强:
高等数学课件中的互动功能强大,学生可以通过课件进行操作、答题、模拟等等,促进学生的自我探究和激发兴趣。
三、容易更新:
高等数学是一门生动的,不断发展的学科,每年都会有新的研究结果。传统的教材需要经过一定时期的编写和审核后才能发布,而高等数学课件则可以根据新的研究成果及时更新。这样,教师能够及时将最新的研究内容带到课堂上,为学生提供最前沿的知识。
四、提高效率:
高等数学的知识内容较为繁杂,采用高等数学课件能够有效提高教学效率,使教与学更加顺畅,学生能够在更短的时间内掌握更多的知识。
高等数学课件的设计
设计高等数学课件需要注意以下几点:
一、以理解为核心:
高等数学课件的设计应该将理解作为核心,从学生的角度出发,设计内容结构,以能够让学生理解为主要宗旨。课件所呈现的每一个概念都应该注明其含义和实际意义,让学生能够更加直观地理解。
二、结合实际:
高等数学的知识内容大多会存在于生活、工程、自然等多种实际问题中,因此设计高等数学课件时,要将其与实际相结合。通过生动的实例,让学生更好地掌握相关的数学知识,从而更好地应用于实际问题中。
三、突出重点:
高等数学的知识点较多,设计课件时必须重点突出,将关键知识相应突出,让学生重点拿捏,提高学习效率。
四、操作性强:
高等数学的知识性和操作性并存,因此在设计课件时必须突出其操作性。设计相应的练习、操作,让学生通过练习加深记忆,掌握操作技巧。
总之,高等数学课件在高等数学的教学中起到了不可替代的作用,其优点和设计方面需要多方面的关注和探究,更为有效地推动高等数学教学的发展。
高等数学课件【篇8】
口诀1:函数概念五要素,定义关系最核心。
口诀2:分段函数分段点,左右运算要先行。
口诀3:变限积分是函数,遇到之后先求导。
口诀4:奇偶函数常遇到,对称性质不可忘。
口诀5:单调增加与减少,先算导数正与负。
口诀6:正反函数连续用,最后只留原变量。
口诀7:一步不行接力棒,最终处理见分晓。
口诀8:极限为零无穷小,乘有限仍无穷小。
口诀9:幂指函数最复杂,指数对数一起上。
口诀10:待定极限七类型,分层处理洛必达。
口诀11:数列极限洛必达,必须转化连续型。
口诀12:数列极限逢绝境,转化积分见光明。
口诀13:无穷大比无穷大,最高阶项除上下。
口诀14:n项相加先合并,不行估计上下界。
口诀15:变量替换第一宝,由繁化简常找它。
口诀16:递推数列求极限,单调有界要先证,两边极限一起上,方程之中把值找。
口诀17:函数为零要论证,介值定理定乾坤。
口诀18:切线斜率是导数,法线斜率负倒数。
口诀19:可导可微互等价,它们都比连续强。
口诀20:有理函数要运算,最简分式要先行。
口诀21:高次三角要运算,降次处理先开路。
口诀22;导数为零欲论证,罗尔定理负重任。
口诀23:函数之差化导数,拉氏定理显神通。
口诀24:导数函数合(组合)为零,辅助函数用罗尔。
口诀25:寻找ξη无约束,柯西拉氏先后上。
口诀26:寻找ξη有约束,两个区间用拉氏。
口诀27:端点、驻点、非导点,函数值中定最值。
口诀28:凸凹切线在上下,凸凹转化在拐点。
口诀29:数字不等式难证,函数不等式先行。
口诀30:第一换元经常用,微分公式要背透。
口诀31:第二换元去根号,规范模式可依靠。
口诀32:分部积分难变易,弄清u、v是关键。
口诀33:变限积分双变量,先求偏导后求导。
口诀34:定积分化重积分,广阔天地有作为。
口诀35:微分方程要规范,变换,求导,函数反。
口诀36:多元复合求偏导,锁链公式不可忘。
口诀37:多元隐函求偏导,交叉偏导加负号。
口诀38:多重积分的计算,累次积分是关键。
口诀39:交换积分的顺序,先要化为重积分。
口诀40:无穷级数不神秘,部分和后求极限。
口诀41:正项级数判别法,比较、比值和根值。
口诀42:幂级数求和有招,公式、等比、列方程。